K числу прибавили сумму его цифр. К полученному числу прибавили сумму его цифр, и так далее. Когда в седьмой раз к числу прибавили сумму его цифр, получили 1000. С какого числа начали? Ответ:887, но как объяснить?

Понятно, что число должно быть трехзначным. В самом деле, если оно двухзначное, то максимальное значение двухзначного числа равно 99, а сумма цифр равна 18 и мы получим 99+18×7=225 << 1000 Трехзначное число можно записать в виде 100a+10b+c, где a,b,c - число сотен, десятков и единиц соответственно. Сумма цифр такого числа равна a+b+c. Получаем уравнение 100a+10b+c+7(a+b+c)=1000 107a+17b+8c=1000 Такие уравнения в целых числах решают методом подбора. При b=c=0 получим 107a=1000 ⇒ a=9 (в целых) При b=c=9 получим 107a+153+72=1000; 107a=775 ⇒ a=7 (в целых) Следовательно, нам надо проверить значения a ∈ [7;9] 1) При a=7 получаем 749+17b+8c=1000 ⇒ 17b+8c=251 Даже при b=c=9 получим 225≠251, следовательно, a≠7 2) При a=8 получаем 856+17b+8c=1000 ⇒ 17b+8c=144 b=(144-8c)/17, c ∈ [0;9] Нужно подобрать такое с, чтобы числитель был кратен 17. Подходит значение с=1 и получаем b = (144-8×1)/17 = 8 Мы нашли нужное число: 881. 3) Проверим, не даст ли еще одного решения a=9. Получаем 107*9+17b+8c=1000; 17b+8c=37 b=(37-8c)/17, c ∈ [0;4], потому что при c>4 числитель будет отрицательным. Снова нужно подобрать такое с, чтобы числитель был кратен 17. Но 17 кратны числа 17 и 34. Ни одно с из указанного диапазона не позволяет получить этих чисел, следовательно a≠9 Ответ: 881