Как доказать, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу?

Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника. proektsii katetov na gipotenuzuВ треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, BD — проекция катета BC на гипотенузу. Катеты, их проекции на гипотенузу, гипотенуза и высота прямоугольного треугольника связаны между собой формулами. 1) Свойство высоты, проведенной к гипотенузе. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между проекциями катетов на гипотенузу. \[CD = \sqrt {AD \cdot BD} ,\] или \[C{D^2} = AD \cdot BD.\] 2) Свойства катетов прямоугольного треугольника. Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. \[AC = \sqrt {AB \cdot AD} \] \[BC = \sqrt {AB \cdot BD} \] или \[A{C^2} = AB \cdot AD\] \[B{C^2} = AB \cdot BD.\]