Какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9

По свойству арифметической прогрессии: [latex]a_n= a_1-(n-1)d[/latex] У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем [latex]d[/latex] и [latex]a_1[/latex]: [latex]\left \{ {{a_1+20d=33} \atop {a_1+26d=9}} \right.[/latex]  Выражаем ихз первого [latex]a_1[/latex]  и получаем: [latex]a_1=33-20d[/latex]   Подставляем во второе и получаем: [latex]33-20d+26d=9 \\ 6d+33=9 \\6d=-24 \\d=-4[/latex]  Подставляем d в выражение для   [latex]a_1[/latex] и получаем:  [latex]a_1=33-20\cdot(-4)=33+80=113[/latex] Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии: [latex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n[/latex]  теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем: [latex]S_n=\frac{226-4(n-1)}{2}\cdot n = \\ =(\frac{226-4n+4}{2})\cdot n= \\ =(\frac{230-4n}{2})\cdot n= \\ =(115-2n)n=-2n^2+115n[/latex]  Получилась функция, которая зависит от n. Нужно найти ее максимум: Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед [latex]n^2[/latex] стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0. Найдем производную по n от этой функции: Получим: [latex]S'(n)=(-2n^2+115n)'_n=-4n+115[/latex]  Теперь надо найти где она равно 0. Решаем уравнение:  [latex]-4n+115=0[/latex] получаем: [latex]n=\frac{115}{4}=28,75[/latex] Теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29. Для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29    [latex]S(n)=-2n^2+115n \\ S(28)=-2\cdot 28^2+115\cdot28=-1568+3220=1652 \\ S(29)=-2\cdot 29^2+115\cdot29=-1682+3335=1653[/latex]  Как мы видим S(29)>S(28), значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653   Ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29