Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой наступает резонанс токов, отличалась от частоты, при которой наступает резонанс напряжений, не более чем на 1% ?

Шаг 1. Выясняем резонансные частоты. Колебательный контур описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка: [latex]q'' + 2 \gamma q' + \omega_0^2 q = e(t)[/latex], полученным из уравнения Кирхгофа введением обозначений: [latex]\gamma = \frac{R}{2L} [/latex], [latex]\omega_0 = \frac{1}{ \sqrt{LC}} [/latex]. Для выяснения резонансной частоты возьмем вынуждающую силу, изменяющуюся по закону косинуса. [latex]e(t) = \frac{E_0}{L} cos(\omega t)[/latex]. Решение данного уравнения, согласно теории д.у., имеет вид: [latex]q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi) + B cos(\omega t + \psi)[/latex], где первое слагаемое - решение с.о.у. (оно затухает и нас не интересует), а второе - произвольное частное решение, которое ищется в указанном виде (в силу особенностей взятой вынуждающей силы). Подставим решение [latex]q=B cos(\omega t + \psi)[/latex] в уравнение и (с помощью, например, векторной диаграммы) получим [latex]B = \frac{E_0}{L} \frac{1}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}} [/latex]. Зная, что [latex]I(t) = q'(t) = - B \omega sin(\omega t +\psi)[/latex] и [latex]U(t) = \frac{q(t)}{C} [/latex]. Получаем для амплитуды тока и напряжений следующие выражения: [latex]U = \frac{E_0}{LC \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4 \gamma^2 \omega^2}} [/latex] и [latex]I = \frac{E_0 \omega}{LC \omega \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}} = \frac{E_0}{LC \sqrt{((\frac{\omega_0}{\omega})^2 - 1)^2 + 4\gamma^2}}[/latex]. Таким образом, решая квадратные уравнения в знаменателях, можно понять, что наибольшая амплитуда (резонанс) у напряжения достигается при частоте [latex]\omega_u = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} [/latex], а у тока при [latex]\omega_i = \omega_0[/latex]. Шаг 2. Что такое добротность Как было написано ранее, за затухание собственных колебаний системы отвечает слагаемое [latex]q = Ae^{-\gamma t}cos(w_c t + \phi)[\tex] Условились считать, что колебание затухло, если его амплитуда уменьшилась в e раз. Очевидно, что это произойдёт за время [latex]\tau = \frac{1}{\gamma} [/latex]. За это время система совершила [latex]N = \frac{\tau}{T_c} = \frac{\omega_c}{2 \pi \gamma} [/latex] колебаний, где [latex]\omega_c = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} [/latex] - собственная частота колебаний системы (следует из решения д.у.). Так вот, величина [latex]Q = \pi N = \frac{\omega_c}{2 \gamma} [/latex] называется добротностью контура. Шаг 3. Накладываем ограничения [latex] \frac{\omega_0 - \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2} }{\sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}} \leq 0.01[/latex] Решая это неравенство получаем: [latex] \frac{\gamma^2}{\omega_0^2} \leq 0.009851975[/latex], отсюда [latex] \frac{\omega_0}{2\gamma} \geq 5.04[/latex] Шаг 4. Находим добротность Вообще говоря, [latex]Q = \frac{\omega_c}{2 \gamma} [/latex] и [latex] \frac{\omega_0}{2\gamma}[\tex] разные величины, поэтому оценим погрешность, что бы приравнять их с чистой совестью)))) Для этого разложим выражение для добротности, с учётом определения частоты собственных колебаний по формуле Маклорена (в ряд). [latex]Q = \frac{ \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = \frac{\omega_0}{2\gamma} \sqrt{1 - \frac{\gamma^2}{\omega_0^2}} = \frac{\omega_0}{2\gamma} ( 1 - \frac{\gamma^2}{2\omega_0^2} + o(\frac{\gamma^2}{\omega_0^2})) = \frac{\omega_0}{2\gamma} - \frac{\gamma}{4\omega_0} + o(\frac{\gamma}{\omega_0}).[/latex] Таким образом, отличие истинного решения от полученного примерно 0.03. Ответ:[latex]Q \ \textgreater \ 5[/latex] P.S. Что касается погрешности, то в принципе если повозиться, то, наверное, можно найти результат более точно, но это потребует лишней возни с алгеброй, которую я недолюбливаю.