Какую ошибку, вызвавшую длительную войну с монголо-татарами, совершили князья?

Действовали поодиночке, а не стали объединяться.

Князья в первой половине 13 века представляли собой разобщенный правящий класс. Русь состояла из множества княжеств, каждое из которых обладало суверенитетом и самобытностью. Когда Русь встретила монгольскую угрозу, ее князья должны были сплотиться, организовать единое войско и отразить удар сообща. Но они были не способны на это, каждый был при своем мнении, в битве на Калке участвовали не все князья, а участвовавшие постоянно вступали в конфликты и разногласия. При нашествии Батыя каждое княжество очень быстро было разгромлено поодиночке. Коротко и грубо говоря, ошибка князей была в том, что они были разобщены и придали монгольской угрозе слишком маленькое значение.