Катет AC прямоугольного треугольника ABC (\C = 90±) разбит точками D и E на три равные части. Площадь треугольника BDE равна 3. Точка F – середина катета BC. Найдите площадь треугольника ABF

Треугольник АВС, уголС=90 Площадь ВДЕ=3 Медиана делит треугольник на равновеликие треугольники. Треугольник АВЕ, где ВД-медиана (АД=ДЕ), площадьВДЕ=площадьАВД=3, треугольникВДС, где ВЕ-медиана, площадьВДЕ=площадьВЕС=3, Площадь АВС=3+3+3=9 АФ-медиана треугольника АВС, площадьАФС=площадьАВФ =9/2=4,5

Можно так, по условию AD=DE=EC=x , и CF=FB=y выразим площадь BED через синус и стороны BD и  ЕВ По теореме  Пифагора  [latex]EB=\sqrt{x^2+4y^2}\\ DB=\sqrt{4x^2+4y^2}\\ \\ [/latex] синус угла между ними по теореме косинусов, затем переведем на синус получим  [latex] sinBDE=\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=\\ S_{BED}=\sqrt{(x^2+y^2)*(x^2+4y^2)}*\sqrt{(1-(\frac{(x^2-5x^2-8y^2)}{-4\sqrt{((x^2+y^2)(x^2+4y^2)}})^2}=xy\\ xy=3\\ [/latex] то есть после упрощения получили такое соотношение , по свойству медиана  делить треугольник на два равновеликих треугольника  [latex]S_{AFC}=S_{ABF}\\ S_{AFC}=\frac{3x*\frac{3}{x}}{2}=4.5\\ S_{ABF}=4.5[/latex]