[latex] \int\limits^4_0 { \sqrt{4-( x-2)^{2} } } \, dx [/latex] вычислить алгебра

Замена переменной х-2=t d(x-2)=dt dx=dt Пределы интегрирования при х=0     t=-2 при х=4      t=2 [latex]\int^2_{-2} \sqrt{4-t^2}dt[/latex] Из геометрического смысла определенного интеграла- то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=√(4-t²) на отрезке [-2;2]   Площадь половины окружности с центром в точке (0;0) и радиусом 2 [latex]S= \frac{\pi R^2}{2}= \frac{ \pi \cdot 2^2}{2} =2 \pi [/latex] Этот интеграл можно считать методом интегрирования по частям или методом замены переменной ( тригонометрические подстановки) z=2sint dz=2cost dt пределы при t=-2      -2=2sint    решаем это уравнение и получаем t=-(pi/2) при t=2        2=2sint    t=(pi/2) [latex] \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { \sqrt{4-4sin^2z} }\cdot 2cosz \, dz = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} ( 2cosz )\cdot 2cosz \, dz=[/latex] [latex]=4 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { cos^2z \, dz=4 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} { \frac{1+cos2z}{2} \, dz=[/latex] [latex]2 \int\limits^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} (1+cos2z) \, dz=2(z+ \frac{sin2z}{2})|^{ \frac{ \pi }{2}} _{- \frac{ \pi }{2}} = 2\pi [/latex]