[latex] \sqrt{ \frac{xy}{z} }+ \sqrt{ \frac{xz}{y} }+ \sqrt{ \frac{yz}{x} }=3 [/latex] решить уравнение в целых числах

x≠0 y≠0 z≠0 Можно воспользоваться известной формулой возведения в квадрат  3  членов: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc она тут  очень кстате. Возведем его  в квадрат: xy/z +xz/y +yz/x +2|x|+2|y|+2|z|=9 В силу  положительности каждого  из выражений xy/z xz/y yz/x тк  они под знаком корня xy/z +xz/y +yz/x>0 9-2*(|x|+|y|+|z|)>0 Положим что  хотя бы одно из выражений |x|, |y| ,|z| больше 2 То минимальное значение значение выражения. 2*(|x|+|y| +|z|)=2*(1+1+3)=10 но 9-10<0 НЕВОЗМОЖНО. А  если уже два слагаемых  более 2 и более  то и  подавно. То  есть все решения  нужно искать на интервале x=+-1 +-2   y=+-1 +-2 z=+-1 +-1 Сразу отметим  что не может быть 2 значений более 1  тк 2* (1+2+2)=10  Если одно  из выражений 2 а другие по 1 по модулю то получим. 2√2 +√2/2=3  неверно ТО решения нужно искать на промежутке: x=+-1  y=+-1  z=+-1 Не   трудно убедится что  тут решения: x=y=z=1 x=y=-1 z=1 x=z=-1 y=1 z=y=-1 x=1