[latex] \sqrt{15-x} + \sqrt{3-x}=6 [/latex]

1-й способ. Угадываем решение [latex]x=-1 \ (\sqrt{15-(-1)}+\sqrt{3-(-1)}=\sqrt{16}+\sqrt{4}+4+2=6 [/latex] - верно). Левая часть уравнения - это сумма двух убывающих функций и поэтому убывает. Правая часть - константа. Следовательно, других решений нет. Ответ: - 1 2-й способ. [latex]\sqrt{15-x}=a \geq 0;\ \sqrt{3-x}=b \geq 0;[/latex] уравнение равносильно системе [latex] \left \{ {{a+b=6} \atop {a^2-b^2=12}} \right.; \left \{ {{a+b=6} \atop {(a-b)(a+b)=12}} \right. ; \left \{ {{a+b=6} \atop {a-b=2}} \right.; \left \{ {{a=4} \atop {b=2}} \right.; \sqrt{3-x}=2; 3-x=4; [/latex] [latex]x=-1. [/latex] Проверка 3-й способ. Угадываем корень x=-1 (4+2=6). Пусть x отличен от -1. Преобразуем:[latex](\sqrt{15-x}-4)+(\sqrt{3-x}-2)=0; \frac{15-x-16}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{3-x-4}{\sqrt{3-x}+2}=0;[/latex] [latex]\frac{-x-1}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{-x-1}{\sqrt{3-x}+2}=0; \frac{1}{\sqrt{15-x}+4}+\frac{1}{\sqrt{3-x}+2}=0.[/latex] Поскольку левая часть положительна, других решений нет. 4-й способ. Домножим левую и правую части уравнения на разность корней: [latex]15-x-3+x=6(\sqrt{15-x}-\sqrt{3-x}); \sqrt{15-x}-\sqrt{3-x}=2. [/latex]. Возьмем разность между исходным уравнением и полученным: [latex]2\sqrt{3-x}=4; x=-1; [/latex] проверка. 5-й способ. Возводим уравнение в квадрат: [latex] 15-x+3-x+2\sqrt{(15-x)(3-x)}=36; 2\sqrt{(15-x)(3-x)}= 2x+18 [/latex]; [latex]\sqrt{(15-x)(3-x)}=x+9; [/latex] возводим в квадрат: [latex]45-18x+x^2=x^2+18x+81; 36x=-36; x=-1;[/latex] проверка: 4+2=6. Замечание. Можно было бы привести еще пару-тройку способов)))