[latex]log_8x+log_2^{0.5} x=14[/latex]

[latex]\log_8x+\log_2^{0.5}x=14[/latex] ОДЗ: [latex] \left \{ {{\log_2x \geq 0} \atop {x>0}} \right. \to \left \{ {{x \geq 1} \atop {x>0}} \right. \to x \geq 1[/latex] Воспользуемся формулами перехода к новому основанию [latex] \frac{\log_2x}{\log_28} +\log_2^{0.5}=14 \\ \frac{\log_2x}{3} + \sqrt{\log_2x} =14[/latex]  Сделаем замену переменных Пусть [latex] \sqrt{\log_2x} =t\,\,(t \geq 0)[/latex], тогда имеем [latex] \frac{1}{3} t^2+t=14|\cdot 3 \\ t^2+3t-42=0[/latex]  D=b²-4ac=177 [latex]t_1= \frac{-3- \sqrt{177} }{2} [/latex] - не удовлетворяет условие при t≥0 [latex]t_2=\frac{-3+ \sqrt{177} }{2} [/latex] Возвращаемся к замене [latex] \sqrt{\log_2x} =\frac{-3+\sqrt{177} }{2} \\ \log_2x=(\frac{-3+ \sqrt{177} }{2} )^2 \\ \log_2x= \frac{93-3 \sqrt{177} }{2} \\ x=2^{\frac{93-3 \sqrt{177} }{2}}[/latex] Ответ: [latex]2^{\frac{93-3 \sqrt{177} }{2}}[/latex]