[latex]\sqrt {x^3-8} + \sqrt{x+7} = 3[/latex]

Решение следует просто из рассмотрения части ОДЗ ОДЗ:  x^3-8>=0    =>  x>=2 и ограничений на значение членов уравнения sqrt(x+7)<=3-sqrt(x^2-8) sqrt(x^2-8)>=0 значит sqrt(x+7)<=3  x+7<=9 x<=9-7 x<=2   из x>=2 и x<=2 следует, что может быть только x=2 проверяем подстановкой в исходное уравнение, да, x=2 - решение   ответ: x=2  

Можно конечно по ОДЗ сравнивать но один ли корень Возведя в квадрат получаем   x^3-8 +2V(x^3-8) (x+7) +x+7=9 x^3+ x -10= 2V(x^3-8)(x+7) x^3-8 -2+x =2V(x^3-8)(x+7) x^3-8=a x-2=b x+7=x-2+9 a+b=x^3-8 +x-2 a+b=2Va*(b+9) a^2+2ab+b^2=4(ab+9a) a^2+2ab+b^2 = 4ab+36a a^2-2ab+b^2=36a (a-b)^2=36a a-b=6Va a-b=6Vx^3-8 x^3-8-x+2= 6Vx^3-8 x^3-x-6 =6Vx^3-8 (x-2)(x^2+2x+3)=6V (x-2 )(x^2+2x+4) x-2=a x^2+2x+3=b ab=6Va(b+1) a^2*b^2=36(ab+a) (ab)^2=36ab+36a (ab)^2=36a(b+1) a*b^2=36(b+1) ab^2-36b-36=0 D= 1296 +4*a*36 = 1296+144a b= (36 -V144(9+a))/2a ставим x^2+2x+3=(36-12V(9+x-2))/2(x-2) x^2+2x+3 = 18-6Vx+7 / (x-2) (x^2+2x+3)(x-2) =18-6V(x+7 ) Видно что 6V(x+7 ) =6*y= при y=3 слева 0 и корни выходят целые! только 2!