[latex]\sqrt{2^3\sqrt{5^3\sqrt{2^3\sqrt{5^3\sqrt{2^3...}}}}}[/latex]

[latex]\sqrt{8{\sqrt{125{\sqrt{8\sqrt{125\sqrt{8....}}}}}}}} =[/latex] можно вывести рекуррентную формулу , обозначим  [latex]a_{n}=\sqrt{8{\sqrt{125}}} =2^{\frac{3}{2}}*5^{\frac{3}{4}}\\ a_{n+1}=\sqrt{8{\sqrt{125{\sqrt{8\sqrt{125}}}}}} = 2^{\frac{15}{8}}*5^{\frac{15}{16}}\\ a_{n+2}=\sqrt{8{\sqrt{125{\sqrt{8\sqrt{125\sqrt{8....}}}}}}}} = 2^{\frac{63}{32}}*5^{\frac{63}{64}}\\ .... [/latex] можно заметить то что это  выражение представим в виде  [latex]a_{n}=5^{\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}}*2^{\frac{2^{2n}-1}{0.5*2^{2n}}} \\ n={1;2;3;4;5....}[/latex]