Лена возвела натуральное число N в квадрат и сложила количество цифр в числе N с количеством цифр в числе N в квадрате .Какой результату нее мог получиться?

Рассмотрим сначала числа со старшим разрядом единиц (в обратном порядке): [latex] 9^2 = 81 \ ; [/latex]       сумма количества цифр: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа вдвое больше количества цифр исходного числа. [latex] 4^2 = 16 \ ; [/latex]       искомая сумма: 1 + 2 = 3 , количество цифр у квадрата числа всё так же вдвое больше количества цифр исходного. [latex] 3^2 = 9 \ ; [/latex]       искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество цифр у квадрата равно количеству цифр исходного. [latex] 0^2 = 0 \ ; [/latex]       искомая сумма: 1 + 1 = 2 , количество у квадрата равно количеству цифр исходного. Теперь переходим к старшему разряду десятков (в обратном порядке): [latex] 99^2 < 10 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 2 + 4 = 6 , количество цифр у квадрата вдвое больше количества цифр исходного. [latex] 40^2 = 1600 \ ; [/latex]       сумма: 2 + 4 = 6 , цифр у квадрата всё так же вдвое больше количества цифр исходного. [latex] 30^2 = 900 \ ; [/latex]       сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата числа: 3 = 4–1 . [latex] 10^2 = 100 \ ; [/latex]       сумма: 2 + 3 = 5 , цифр у квадрата: 3 = 4–1 . Далее переходим к старшему разряду сотен (в обратном порядке): [latex] 999^2 < 1 \ 000 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше. [latex] 400^2 = 160 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 3 + 6 = 9 , цифр у квадрата вдвое больше. [latex] 300^2 = 90 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 . [latex] 100^2 = 10 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 3 + 5 = 8 , цифр у квадрата числа: 5 = 3*2–1 . Ну и ещё переходим к старшему разряду тысяч (в обратном порядке): [latex] 9 \ 999^2 < 100 \ 000 \ 000 \ ; [/latex]       сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше. [latex] 4000^2 = 16 \ 000 000 \ ; [/latex]       сумма: 4 + 8 = 12 , у квадрата вдвое больше. [latex] 3000^2 = 9 \ 000 000 \ ; [/latex]       сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 . [latex] 1000^2 = 1 \ 000 000 \ ; [/latex]       сумма: 4 + 7 = 11 , цифр у квадрата: 7 = 4*2–1 . А теперь всё обобщим на самый общий случай. Если бы число записывалось единицей с R нолями, то его квадрат содержал бы уже 2R нолей, при этом в исходном числе было бы (R+1) цифр, а в квадрате числа – (2R+1) цифр. Пусть у нас старший разряд таков, что во всём числе только R цифр, рассмотрим всё, как обычно в обратном порядке: (  99999 : : : R цифр : : : 99999  )   –   это число на единицу меньше, чем число     (  100000 : : : R нулей : : : 00000  )     , в котором (R+1) цифр. квадрат числа [(  99999 : : : R цифр : : : 99999  )]    –   это число, меньшее, чем число     (  100000 : : : 2R нулей : : : 00000  )     , в котором (2R+1) цифр. Значит, квадрат числа (  99999 : : : R цифр : : : 99999  ) содержит ровно 2R цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3R цифр. в числе (  400000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр. квадрат числа [(  400000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  1600000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит 2R цифр, а всего само число и его квадрат содержат 3R цифр. в числе (  300000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр. квадрат числа [(  300000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  900000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2R–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3R–1) цифр. в числе (  100000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )  содержится R цифр. квадрат числа [(  100000 : : : (R–1) нулей : : : 00000  )]  = =  (  100000 : : : (2R–2) нулей : : : 00000  )  содержит (2R–1) цифр, а всего само число и его квадрат содержат (3R–1) цифр. И так будет для любого R R = 1   : : :  сумма: 3R = 3 или (3R–1) = 2 . R = 2   : : :  сумма: 3R = 6 или (3R–1) = 5 . R = 3   : : :  сумма: 3R = 9 или (3R–1) = 8 . R = 4   : : :  сумма: 3R = 12 или (3R–1) = 11 . R = 5   : : :  сумма: 3R = 15 или (3R–1) = 14 .   . . . R = 32   : : :  сумма: 3R = 96 или (3R–1) = 95 . R = 33   : : :  сумма: 3R = 99 или (3R–1) = 98 . R = 34   : : :  сумма: 3R = 102 или (3R–1) = 101 . R = 35   : : :  сумма: 3R = 105 или (3R–1) = 104 . ... и т.д и т.п. ... Как легко видеть, в этой последовательности: 2, 3,  5, 6,  8, 9,  11, 12,  14, 15 .... 95, 96,  98, 99,  101, 102,  104, 105 .... пропущены определённые числа. Пропущенные числа: 1, 4, 7, 10, 13, 16 .... 94, 97, 100, 103, 106 .... подчиняются закону (3R+1). В самом деле, между предыдущим и последующим значениями, кратными трём, всегда содержатся два целые числа, а искомой суммой, помимо 3R, может быть только одно из них: (3R–1) . Поэтому, значения, подчиняющиеся закону (3R+1) не могут быть искомым результатом. Так, например, число 99 – кратно трём ( 99 = 3*33 ), а значит, число   100 = 3*33+1   никак не могло бы оказаться в расчётах Лены. О т в е т : у Лены не могли получиться результаты, подчиняющиеся закону (3R+1) , где R – какое угодно целое число. ну и, конечно, все результаты Лены могут быть только положительными, поскольку это количества, т.е. натуральные величины. в частности, у неё не могло получиться число 100.