Lim x больше 0 2x ln(1+x)/sin 5x

Разновидность предела [latex] \lim_{x \to 0} \frac{Sinx}{x} [/latex], решать будем арифметикой пределов. [latex] \frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= \frac{5}{5} \frac{2x*ln(1+x)}{Sin5x}= \frac{5x}{Sin5x} \frac{2*ln(1+x)}{5} [/latex] [latex] \lim_{x \to 0} \frac{5x}{Sin5x}=1, \lim_{x \to 0} ln(1+x)=0[/latex] Первый предел упомянут выше, второй предел следует из непрерывности функции [latex]f(x)=lnx[/latex] на области определения, следовательно [latex] \lim_{x \to x_0} lnx=lnx_0 [/latex]. Отсюда получаем: [latex] \lim_{x \to 0} \frac{2}{5}ln(1+x)=0[/latex] Оба частичных предела определены и существуют на |R, следовательно условия арифметики пределов выполняются и предел произведения равен произведению пределов. [latex] \lim_{x \to 0} \frac{5x}{Sin5x} \frac{2*ln(1+x)}{5} =0[/latex]