Логарифмические неравенства, алгебра

Логарифмические неравенства, алгебра
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
1. Log_0,3 x  ≤ 2⇔ Log_0,3 x  ≤ Log_0,3  (0,3 )² .  ||  т.к. основание логарифма  0 < 0,3 < 1 ||    ⇔  x ≥( 0,3)² ответ : x ∈ [ 0,09 ; ∞) . ---------------------- 2. Log_3 (2x+1) < 3 ⇔Log_3 (2x+1) < Log_3³ ⇔ 0 < 2x+1 <27 ⇔ -1<2x <27 -1  ⇔ -1/2 < x < 13. ответ : x ∈ ( -1/2  ; 13) . ---------------------- 3. Lg²x -2Lgx -3 < 0 ⇔ ( Lqx +1)(Lqx -2) < 0 ⇔ -1 < Lqx  <2  ⇔ 10⁻¹  < x  < 10² . ответ : x ∈ ( 1/10  ; 100) . ---------------------- 4. ( Log_0,5  x)² +  Log_0,5  x  -2  > 0 ⇔ (Log_2  x )²  -  Log_2  x - 2  >0  т.к . Log_0,5  x =  Log_2 x / Log_2 0,5 =  Log_2 x / (-1) = - Log_2 x  (Log_2  x )²  -  Log_2  x - 2  >0  ⇔ ( (Log_2  x  + 1) (Log_2  x  -  2)  > 0  ⇔ (совокупности 2 -х неравенств )   [  Log_2  x  + 1 < 0 ; Log_2  x  -  2 >0 .⇔ [  Log_2  x  <  -1  ; Log_2  x   > 2 .  ⇔0 <  x  <  2⁻¹  ;    x   > 2 ². ответ : x ∈ (0 ; 1/2) ∪ (4 ; ∞) . ---------------------- 5. Loq_4 2,5 / (Log_4 x  - 1) ≥ 1 ⇔ 1 - Loq_4 2,5 / (Log_4 x  - 1)  ≤ 0 ⇔ ( Log_4 x  - 1 - Loq_4 2,5) / (Log_4 x  - 1)  ≤ 0 ⇔ ( Log_4 x  - (Loq_4 + Loq_4 2,5) ) / (Log_4 x  - 1)  ≤ 0 ⇔ (Log_4 x  - Loq_4 10 )  / (Log_4 x  - 1)   ≤ 0  ⇔   1 < Log_4 x ≤  Loq_4 10  ⇔ 4 < x  ≤ 10 .  ответ : x ∈ (4 ; 10 ]. . * * * * * * * * *  P.S.  пример  4.чуть  подробно :   (Log_2  x )²  -  Log_2  x - 2  >0  замена :   Log_2  x = t  t² -t -2 >0 ;    t² - t -2 =0 ; D = 1² - 4*1*(-2) =9 =3²  t₁ = (1 -3) /2 = -1 ; t₂ = (1 +3) /2 =2 . * * * t² -t -2 = (t +1)(t -2) * * *  (t +1)(t -2)   > 0   решаем по методу интервалов :             +                    -                        + ///////////////// (-1) --------------- (2) ////////////////// t < -1  или   t  > 2   (иначе  [ t < -1 ;   t  > 2. ) ⇔   Loq_2 x < 1   или  Loq_2 x  > 2   [ Loq_2 x < 1  ;  Loq_2 x  > 2  ⇔ [  0 < x < 2 ; x > 4 . a) Loq_2 x < 1  ⇒ 0 < x < 2  ;  b) Loq_2 x  > 2  ⇔ Loq_2 x  > Loq_2 2²  ⇒x > 4 .
Не нашли ответ?
Ответить на вопрос
Похожие вопросы