Мама каждый день выдает Саше на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими способами она может выдать эти фрукты за 11 дней?

*** подробное разжёвывание для тех, кто тоже не понимает В большом классе задач по комбинаторике самый быстрый путь подсчёта осуществляется специальным приёмом, заключающимся в том, что мы «метим» (нумеруем, делаем различимыми) неразличимые объекты, делая этой операцией их различимыми. При этом оказывается, что в таком предварительном подсчёте числе комбинаций различаются наборы [апельсины №1 и №2] и [апельсины №2 и №1], поэтому конечных комбинаций нужно брать в два раза меньше, чем предварительных. Если мы «помечаем» не два, а три неразличимых объекта и начинаем их различать на этапе промежуточных вычислений, то предварительный подсчёт числа комбинаций оказывается в [latex] 6 [/latex] раз больше, поскольку мы различаем [latex] 6 [/latex] комбинаций ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA. Поэтому для получения конечного числа комбинаций нужно промежуточный вариант разделить на [latex] 6=3! [/latex] При любом другом числе [latex] n [/latex] условно-различимых объектов нужно делить промежуточное число на [latex] n! [/latex] [latex] 3 [/latex] яблока [latex] + 5 [/latex] груш [latex] + 2 [/latex] персика [latex] + [/latex] апельсин [latex] = 11 [/latex] объектов. Итак, всего у мамы есть 11 объектов. Пометим все изначально неразличимые объекты, так что получится первое яблоко, второе яблоко, третье яблоко, первая груша, вторая груша и т.п. Всего все такие условно-различимые объекты можно переставить [latex] (11!) [/latex] способами. НО ! Среди них не различимы [latex] 3 [/latex] яблока, а значит [latex] (3!) [/latex] способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на [latex] (3!) . [/latex] НО ! Среди них не различимы [latex] 5 [/latex] груш, а значит [latex] (5!) [/latex] способов всех перестановок не различимы и нужно разделить на [latex] (5!) . [/latex] НО ! Среди них не различимы [latex] 2 [/latex] персика, а значит [latex] 2!=2 [/latex] способа всех перестановок не различимы и нужно разделить на [latex] 2 . [/latex] Всего, с учётом реальной неразличимости, поучим, что число вариантов [latex] N [/latex] равно: [latex] N = \frac{11!}{5!3!2} = \frac{ 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{3!2} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7 = 27 \ 720 [/latex] О т в е т : [latex] 27 \ 720 [/latex] вариантов. Все эти [latex] 27 \ 720 [/latex] теоретически, конечно, можно было бы выписать, чтобы проиллюстрировать всю картину вариантов, но это заняло бы очень большой объём трудно воспринимаемого текста, поэтому, если уж и попытаться перечислить все возможные варианты, то тогда лучше составить полностью аналогичную модель на меньших числах. Возьмём не [latex] 3 , [/latex] а [latex] 2 [/latex] яблока, не [latex] 5 , [/latex] а [latex] 4 [/latex] груши, избавимся от персиков и оставим апельсин. Тогда по такой же формуле, найдём, что общее количество вариантов их последовательной раскладки будет: [latex] N_1 = \frac{7!}{4!2} = \frac{ 7 \cdot 6 \cdot 5 }{2} = 7 \cdot 3 \cdot 5 = 105 [/latex] ; И Л Л Ю С Т Р А Ц И Я . В А Р И А Н Т О В . раскладки двух яблок, четырёх груш и апельсина: Далее: Я – яблоко, г – груша и @ – апельсин. При помощи функции поиска в браузере (Ctrl+F) можно проверить, что любая комбинация встречается всего один раз, а любая комбинация, которую можно было бы придумать, уже записана в перечне комбинаций.   1. ЯЯгггг@   2. ЯЯггг@г   3. ЯЯгг@гг   4. ЯЯг@ггг   5. ЯЯ@гггг   6. ЯгЯггг@   7. ЯгЯгг@г   8. ЯгЯг@гг   9. ЯгЯ@ггг  10. ЯггЯгг@  11. ЯггЯг@г  12. ЯггЯ@гг  13. ЯгггЯг@  14. ЯгггЯ@г  15. ЯггггЯ@  16. Ягггг@Я  17. Яггг@Яг  18. Яггг@гЯ  19. Ягг@Ягг  20. Ягг@гЯг  21. Ягг@ггЯ  22. Яг@Яггг  23. Яг@гЯгг  24. Яг@ггЯг  25. Яг@гггЯ  26. Я@Ягггг  27. Я@гЯггг  28. Я@ггЯгг  29. Я@гггЯг  30. Я@ггггЯ  31. гЯЯггг@  32. гЯЯгг@г  33. гЯЯг@гг  34. гЯЯ@ггг  35. гЯгЯгг@  36. гЯгЯг@г  37. гЯгЯ@гг  38. гЯггЯг@  39. гЯггЯ@г  40. гЯгггЯ@  41. гЯггг@Я  42. гЯгг@Яг  43. гЯгг@гЯ  44. гЯг@Ягг  45. гЯг@гЯг  46. гЯг@ггЯ  47. гЯ@Яггг  48. гЯ@гЯгг  49. гЯ@ггЯг  50. гЯ@гггЯ  51. ггЯЯгг@  52. ггЯЯг@г  53. ггЯЯ@гг  54. ггЯгЯг@  55. ггЯгЯ@г  56. ггЯггЯ@  57. ггЯгг@Я  58. ггЯг@Яг  59. ггЯг@гЯ  60. ггЯ@Ягг  61. ггЯ@гЯг  62. ггЯ@ггЯ  63. гггЯЯг@  64. гггЯЯ@г  65. гггЯгЯ@  66. гггЯг@Я  67. гггЯ@Яг  68. гггЯ@гЯ  69. ггггЯЯ@  70. ггггЯ@Я  71. гггг@ЯЯ  72. ггг@ЯЯг  73. ггг@ЯгЯ  74. ггг@гЯЯ  75. гг@ЯЯгг  76. гг@ЯгЯг  77. гг@ЯггЯ  78. гг@гЯЯг  79. гг@гЯгЯ  80. гг@ггЯЯ  81. г@ЯЯггг  82. г@ЯгЯгг  83. г@ЯггЯг  84. г@ЯгггЯ  85. г@гЯЯгг  86. г@гЯгЯг  87. г@гЯггЯ  88. г@ггЯЯг  89. г@ггЯгЯ  90. г@гггЯЯ  91. @ЯЯгггг  92. @ЯгЯггг  93. @ЯггЯгг  94. @ЯгггЯг  95. @ЯггггЯ  96. @гЯЯггг  97. @гЯгЯгг  98. @гЯггЯг  99. @гЯгггЯ 100. @ггЯЯгг 101. @ггЯгЯг 102. @ггЯггЯ 103. @гггЯЯг 104. @гггЯгЯ 105. @ггггЯЯ