Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.

Рассмотрим рисунок. Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP - прямоугольный с гипотенузой BM (по свойству описанной окружности). Рассмотрим треугольники BMP и CPM: MP - общая сторона BP=PC (по условию задачи) BPM=CPM, т.к. BPM - прямой, а CPM - ему смежный. Следовательно треугольники BMP и CPM равны (по первому признаку). Отсюда следует, что BM=MC=MA. Рассмотрим треугольник BMC. Т.к. MB=MC, то этот треугольник - равнобедренный, следовательно MCP=PBM (по свойству равнобедренных треугольников). В треугольнике ABM аналогичная ситуация, BAM=ABM. Т.е. получается, что BAM+MCP=ABC. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, 180°=BAM+MCP+ABC 180°=ABC+ABC 180°=2*ABC 90°=ABC Из чего следует, что треугольник ABC - прямоугольный. По свойству описанной окружности следует, что точка М - центр окружности, следовательно AC - диаметр => AC=2*R=2*7=14. Ответ: AC=14.