Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны a и b. Найти гипотенузу треугольника.

Обозначим катеты через х, у,  а гипотенузу через z. Продлевая медианы на свою длину и для каждой из них достраивая исходные треугольник до параллелограмма, применяем свойство, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. Получаем систему: 4a²+x²=2z²+2y² 4b²+y²=2z²+2x² x²+y²=z² Складываем первое ур-е и второе, и применяем третье: 4a²+4b²+z²=4z²+2z² 4(a²+b²)=5z² Отсюда [latex]z= 2\sqrt{(a^2+b^2)/5}. [/latex]

Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны a и b. Найти гипотенузу треугольника. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90º, а - медиана  АА1 к ВС, b- медиана  ВВ1 к АС.  В ∆ АСА1 катет СА1=0,5 ВС ⇒ по т.Пифагора: а²=АС²+(0,5ВС)²=АС²+0,25 ВС² В ∆ ВСВ1 катет СВ1=0,5 АС ⇒ по т.Пифагора: b²=ВС²+(0,5 АС)²=ВС²+0,25 АС² Сложим два уравнения  а²+b²=1,25 (АС²+ВС²)⇒ АС²+ВС²=(а²+b²):1,25 ⇒ АВ²=АС²+ВС²=(а²+b²):1,25  АВ=√[(а²+b²):1,25]=0,4√[5•(а²+b²)] или 2√[(а²+b²):5], что одно и то же.