Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна к боковой стороне и равна 4. Найти площадь трапеции...

Выведем некие следствия,так как у нас трапеция равнобедренная  то боковые стороны равны, пусть одна  боковая сторона равна [latex]x[/latex], то другая следовательно тоже равна [latex]x[/latex]. Так как у нас диагональ перпендикулярна, иными словами под 90 гр, то пусть     большое основание равна [latex]y[/latex] , тогда справедлива теорема Пифагора !  [latex]4^2+x^2=y^2[/latex] У равнобедренной трапеций углы при оснований равны, то пусть в прямоугольном треугольнике , образованным диагональю нашей трапеций равен [latex] \alpha [/latex], то другой угол равен [latex] 90- \alpha [/latex], и пусть угол при меньшем оснований равны [latex] \beta [/latex] ,то в сумме  [latex]90- \alpha + \beta =180\\ \beta - \alpha =90[/latex] тогда , по теореме косинусов выразим диагональ. [latex]2x^2+2x^2*cos(90+ \alpha )=16[/latex] и в прямоугольном треугольнике , следует что , большое основание равна  [latex]y*cos \alpha =4[/latex] Решим систему . Я сразу привел все в порядок [latex]x^2+16=y^2\\ y*cos \alpha =4\\ 2x^2+2x^2*sin \alpha =16\\ [/latex] решим  [latex](y*cos \alpha )^2=16\\ y^2=\frac{16}{cos^2 \alpha }\\ \\ x^2+16=\frac{16}{cos^2 \alpha }\\ 2x^2+2x^2*sina=16\\ \\ x^2+16=\frac{16}{1-sin^2 \alpha}\\ 2x^2+2x^2*sina=16\\ \\ (x^2+16)(1-sin^2a)=2x^2+2x^2*sina[/latex] Приводя подобные , получим  [latex]x=\frac{4}{\sqrt{3}}\\ y=\frac{8}{\sqrt{3}}[/latex] Теперь нужно найти высоту, а высота как известно в прямоугольном треугольнике, равна произведению катетов на гипотенузу, то есть  [latex]h=\frac{4*\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{8}{\sqrt{3}}}=2\\ S=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}}{2}*2=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}[/latex]