Можно ли около окружности радиусом 1 мм описать треугольник, наименьшая сторона которого больше 1км

Можно. Центр O вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника. Допустим дан треугольник АВС. ВС - наименьшая сторона >1км. Тогда угол АВС будет стремиться к 180 градусам, но не ровняться. т.е. угол будет максимально тупым, а радиус окружности будет наименьшим расстоянием до сторон треугольника и окружность будет касаться всех его сторон.