На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, ... , 1000 . Вася за одну операцию может стереть любые два числа и написать вместо них либо их сумму, либо произведение. Может ли он так действовать, чтобы после 999 операций на доске осталос...

Да, может. Например, сначала суммирует все числа, кроме 2, 256 и 978 (получается 499264), потом перемножает 2, 256 и 978 (получается 500736), а затем складывает два числа и получает 1000000. Другой пример, как получить 1000000: просуммировать все числа, кроме 2 и 996 (получается 499502), потом домножить на 2 (999004) и прибавить 996 (1000000).