На гипотенузу ab прямоугольного треугольника abc опустили высоту ch. Из точки h на катеты опустили перпендикуляры hk и he . A) доказать что точки a, b, k, e лежат на одной окружности. Б) найти радиус этой окружности , если ab=...

А) Если точки А, К, Е и В лежат на одной окружности, то четырёхугольник АКЕВ - вписанный. В нём ∠А+∠Е=∠К+∠В. СН⊥АВ, значит тр-ки АВС, АСН и СВН подобны. В тр-ке АСН НК⊥ АС, значит тр-ки АСН и НСК подобны. КСЕН - прямоугольник, значит тр-ки НСК и КЕН равны. Обозначим равные углы на рисунке. Сразу видно, что в четырёхугольнике АКЕВ ∠А+∠Е=∠К+∠В, значит он вписан в окружность. Доказано. Б) Пусть АН=х, ВН=АВ-х=12-х. СН²=АН·ВН, 25=х(12-х), -х²+12х-25=0, х₁=6-√11, х₂=6+√11. АН=6-√11, ВН=6+√11. В тр-ке АСН АС²=СН²+АН²=25+(6-√11)²≈32.2, АС≈5.7. НК=АН·СН/АС=(6-√11)·5/5.7≈2.4, СЕ=НК, В тр-ке АСЕ АЕ=√(АС²+СЕ²)=√(32.2+2.4²)≈6.14, В тр-ке АВС sinB=АС/АВ=5.7/12≈0.47, В тр-ке ВАЕ АЕ/sinB=2R ⇒ R=АЕ/2sinB=6.14/(2·0.47)=6.5 - это ответ. На самом деле, радиус окружности, описанной вокруг любого из треугольников, образованных из вершин четырёхугольника АКЕВ, равен радиусу описанной окружности вокруг самого четырёхугольника.