На кривой [latex]y=x-x^{2}[/latex] найдите точку, расстояние от которой до точки M(1;-1) будет наименьшим

Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле  [latex]\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}[/latex] В данном случае пусть [latex](x_1;\,y_1)[/latex] - точка на параболе, а [latex](x_2;\,y_2)[/latex] сама точка М (1, -1). Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид [latex](x;\,x-x^2)[/latex] Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного [latex]\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}[/latex] Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.    [latex](\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=[/latex] Сократим числитель и знаменатель на  2. [latex]=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}[/latex] Теперь  приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную [latex](x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0[/latex] Раскроем скобки [latex]x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0[/latex] Заметим, что все свободные члены сокращаются [latex]x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0[/latex]  Также сокращаются все члены при х. [latex]-x^2-2x^2+2x^3=0[/latex] [latex]-3x^2+2x^3=0[/latex] [latex]x^2(-3+2x)=0[/latex] [latex]x_1=0[/latex] [latex]-3+2x_2=0[/latex] [latex]2x_2=3[/latex] [latex]x_2=1,5[/latex] Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе [latex]-3x^2+2x^3[/latex]. Обозначим ее за [latex]g(x)=-3x^2+2x^3[/latex]. [latex]g(-1)=-3-2=-5<0,[/latex] [latex]g(1)=-3+2=-1<0[/latex] [latex]g(2)=-3*4+16=4>0[/latex] Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния. Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы [latex]y=1,5-1,5^2[/latex] [latex]y=1,5-2,25[/latex] [latex]y=-0,75[/latex] Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75). Ответ: (1,5; -0,75).