На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции ABCD, взята точка М. Докажите, что равны площади треугольников АМС и BМD.

Точка Е - середина основания ВС, точка К - середина оскования АД. Значит на отрезке ЕК лежит точка М.  Для начала рассмотрим две трапеции, на которые отрезок ЕК поделил трапецию АВСД. Трапеции АВЕК и КЕСД равновеликие, поскольку у них равны верхние и нижние основания и высота (так как Е и К середины оснований). Известно, что медиана делит треугольник на два равновеликие треугольника.  ОК - медиана треуг. АМД, ОЕ - медиана треуг. ВМС.  Треуг. АМК и ДМК равновеликие.  Треуг. ВМЕ и СМЕ также равновеликие. Получается, что если от трапеций АВЕК и КЕСД отнять равновеликие треуг. АМК, ВМЕ и ДМК, СМЕ, то в результате останутся два равновеликие треуг. АМВ и СМД. Доказано.