На параболе y^2 = 10x найти точку, расстояние от которой до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8:7 .

Каноническое уравнение параболы y^2=2px Фокус параболы F(p/2,0), тогда  F(5/2,0) Вершина параболы О(0,0) Пусть М(х,у) - искомая точка. Расстояние от нее до начала координат : √(x²+y²) Расстояние до фокуса:√((x-5/2)²+y²). Эти расстояния относятся как 8:7, а квадраты расстояний как 64:49. 49(x^²+y²)=64 ((x-5/2)²+y²).  М принадлежит параболе и значит y^2=10x 49(x²+10х)=64 ((x-5/2)²+10х) 49х²+490х=64х²-320х+400+640х 15х²-170х+400=0 3х²-34х+80=0 D=1156-960=196 x1=(34-14)/6=10/3⇒y²=100/3⇒y1=-10√3/3 U y2=10√3/3 x2=(34+14)/6=8⇒y³=80⇒y3=-4√5 U y4=4√5 х=8 и х=10/3 Получается 4 точки: (10/3;-10√3/3)(10/3;10√3/3);(8;-4√5);(8;4√5)