На плоскости отметили 2016 точек так, что среди каждых трех из них найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 1см. Докажите , что найдется круг радиуса 1см, внутри которого содержится не меньше 1008 точек.

Докажем методом мат. индукции. Пусть имеется 2х точек. Требуется доказать, что найдётся круг, содержащий не менее х из них. 1) Начальное значение х=2, то есть 4 точки. По условию "среди каждых трех из них найдутся ДВЕ точки, расстояние между которыми меньше 1см." Значит круг, содержащий ДВЕ точки существует. 2) Предположим, что условие выполняется при натуральном х, и докажем его для (х+1). Теперь точек сперва было 2х - из них х в требуемом круге, а стало 2(х+1), то есть добавилось две. Рассмотрим эти две точки и третью из круга. Из условия ""среди каждых трех из них найдутся ДВЕ..." хотя бы одна из двух добавленных точек должна войти в круг. Таким образом в круге будет содержаться (х+1) точка, что и требовалось доказать. 3) Мы доказали теорему для любого х не меньше 2. Поэтому она справедлива и для х=1008, то есть 2016 точек.