На рисунке 146 (прикреплён) AB=AC, AP=PQ=QR=RB=BC. Найдите угол A.

Треугольник АВС - равнобедренный.  Примем ∠А= х. Треугольник АРQ - равнобедренный, ∠AQP=∠QAP=x.  ∠ RPQ – внешний угол ∆ APQ  при вершине Р и р (свойство). ∠RPQ=2х.  Угол RQB внешний при вершине Q треугольника RAQ.    ∠RQB=∠А+∠PRQ=x+2x=3x.  Угол BRC - внешний при вершине R треугольника BRA. ∠BRC=угол А+угол АВR=3х, и, наконец, ∠BRC=4х.  В равнобедренном треугольнике BRC угол С=4х, в равнобедренном  ∆ АВС угол В=4х, и тогда  4х+4х+х=180°, откуда х=20° ⇒ ∠А=20°