На рисунке изображен прямоугольный треугольник ABC, стороны которого касаются окружности радиуса 1 см. На какие отрезки точка касания делит гипотенузу треугольника, равную 5см?

Если из центра вписанной окружности провести радиусы в точки касания, то катеты( обозначим их a и b) разделятся на отрезки 1 и а-1 на первом катете, и 1 и b-1 - на втором. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны. Значит на гипотенузе получатся отрезки а-1 и b-1. Из формулы радиуса r =(a+b-c)/2 получаем a+b =7.  Теперь с помощью теоремы Пифагора найдем катеты. a+b=7 и a²+b²=25 . Получим катеты 3 см и 4 см. Отрезки на гипотенузе 3-1=2 см, 4-1=3 см.