На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Пусть h - высота трапеции. Тогда S_ABCD = (BC+AD)/2 * h. В треугольнике BFC высота из F на ВС равна половине высоты трапеции, так как F находится на средней линии трапеции. S_BFC = 1/2*BC*(h/2). Аналогично, в треугольнике AFD высота из F на AD равна половине высоты трапеции.S_AFD = 1/2*AD*(h/2). S_BFC+S_AFD=1/2*BC*(h/2) + 1/2*AD*(h/2) = ((BC+AD)/2 * h) / 2 = 1/2 * S_ABCD, ч.т.д.