На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты такие точки E и F, что прямая EF является его осью симметрии. Обязательно ли точка пересечения диагоналей AC и BD лежит на оси симметрии?

да, потому что ось симметрии предполагает, что ВСЕ, что находится по одну сторону от нее зеркально отражено на другой стороне. Если же диагонали будут пересекаться где-то в другом месте, то это условие будет нарушено. По идее надо еще доказать, что диагонали вообще будут пересекаться, но я так и не смог представить 4-хугольника, где бы диагонали не пересекались.