Надо найти правильный ответ + или - (см. в приложении

    [latex]sin(arctg\frac{3}{4})=?[/latex] Обозначим  [latex]x=arctg\frac{3}{4}[/latex] .  По определению функции  [latex]y=arctgx[/latex]  имеем: [latex] \left \{ {{-\frac{\pi}{2}\ \textless \ arctgx\ \textless \ \frac{\pi}{2}} \atop {tgy=x}} \right. [/latex] . То есть угол  х принадлежит либо 1, либо 4 четвертям   [latex](-\frac{\pi}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{\pi}{2})[/latex]  и  [latex]tgy=tg(arctgx)=x .[/latex]  [latex]tgx=tg(arctg\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\\\\1+tg^2x=\frac{1}{cos^2x}\; \; \to \; \; 1+(\frac{3}{4})^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}[/latex] Так как [latex]x=arctg\frac{3}{4}[/latex]  принадлежит 1 или 4 четвертям, то в этих четвертях косинусы углов положительны, значит при извлечении квадратного корня из [latex]cos^2x[/latex] будем брать знак (+). [latex]\frac{1}{cos^2x}=\frac{25}{16}\; ,\; \; cos^2x=\frac{16}{25}\\\\cosx=+\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \\\\sinx=tgx\cdot cosx,\; tak\; kak\; \; tgx\cdot cosx=\frac{sinx}{cosx}\cdot cosx=sinx\\\\sinx=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}\\\\sin(arctg\frac{4}{5})=\frac{3}{5}[/latex]   Можно было найти sinx из формулы тригонометрической единицы   [latex]sin^2x=1-cos^2x\; \; \to \; \; sinx=\pm \sqrt{1-cos^2x},[/latex] но тогда надо пояснить, что угол  х  находится в 1 четверти и надо брать знак (+) перед корнем, так как синусы углов 1 четверти больше 0. Это можно пояснить так: [latex]x=arctg\frac{3}{4}\; \to \; tgx=\frac{3}{4}\ \textgreater \ 0\; \; \Rightarrow [/latex]  угол принадлежит либо 1, либо 3 четверти. А по определению арктангенса  угол [latex] -\frac{\pi }{2} \ \textless \ x=arctg\frac{3}{4}\ \textless \ \frac{\pi}{2} [/latex] , то есть это угол 1 или 4 четверти. Значит , х принадлежит 1 четверти, где синусы углов положительны.