Найдите а, если площадь фигуры,ограниченной линиями y=2^x , y=4^x , x=a равна log 4 (e)

Найдем точки пересечения графиков: [latex]2^{x}=4^{x}[/latex] [latex]2^{x}=2^{2x}[/latex] [latex]2^{x}-2^{2x}=0[/latex] [latex]2^{x}*(1-2^{x})=0[/latex] [latex]1-2^{x}=0[/latex] [latex]x_{1}=0[/latex] [latex]x_{2}=a[/latex] Тогда: [latex]S= \int\limits^a_0 {(4^{x}-2^{x})} \, dx=log_{4}e[/latex] [latex]\int\limits^a_0 {(4^{x}-2^{x})} \, dx= \frac{4^{x}}{ln4}-\frac{2^{x}}{ln2}|^{a}_{0}=\frac{4^{a}}{ln4}-\frac{2^{a}}{ln2}-\frac{4^{0}}{ln4}+-\frac{2^{0}}{ln2}=\frac{4^{a}}{2ln2}-\frac{2^{a}}{ln2}-\frac{1}{2ln2}+\frac{1}{ln2}=\frac{2^{2a}-2*2^{a}-1+2}{2ln2}=\frac{2^{2a}-2*2^{a}+1}{2ln2}=log_{4}e[/latex] [latex]\frac{2^{2a}-2*2^{a}+1}{2ln2}=log_{4}e[/latex] [latex]2^{2a}-2*2^{a}+1=(log_{4}e)*ln4[/latex] [latex]2^{2a}-2*2^{a}+1=(log_{4}e)* \frac{1}{log_{4}e}[/latex] [latex]2^{2a}-2*2^{a}+1=1[/latex] [latex]2^{2a}-2*2^{a}=0[/latex] [latex]2^{a}*(2^{a}-2)=0[/latex] [latex]2^{a} \neq 0[/latex] [latex]2^{a}-2=0[/latex] [latex]2^{a}=2[/latex] [latex]a=1[/latex] Ответ: а=1