Найдите х в уравнении 1 + [latex] \frac{1+ \frac{1+ \frac{...}{5} }{5} }{5} =x[/latex]

 Сделаем такие преобразования [latex]1+\frac{1+\frac{1+\frac{x}{5}}{5}}{5}=1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1+\frac{y}{5}}{5}}} =\\\\ 1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{y}{25}}}=\\\\ 1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{y}{25}}}}{25}}}=\\\\ 1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{1+\frac{1+\frac{1}{5}+\frac{y}{25}}{5}}{25}}}=1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{5+1+\frac{1}{5}+\frac{y}{25}}{125}}} = \\ 1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{y}{125*}}}[/latex]  где [latex]y[/latex] продолжающая часть  [latex] 1+\frac{1}{\frac{5}{1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{y}{125*}}}=x[/latex] то есть мы получили геометрическую убывающую прогрессию со знаменателем [latex]q=\frac{1}{5}\\ 1+\frac{1}{5}+\frac{1}{25}+\frac{1}{125}+\frac{1}{625}+\frac{y}{125*...}=\\ S_{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{4}\\ 1+\frac{1}{\frac{5}{(\frac{5}{4})}}}=x\\ 1+\frac{1}{4}=x\\ x=\frac{5}{4}[/latex]