Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x Э [3П/4;П]

Здесь применима формула двойного угла для косинуса. [latex]\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2*\alpha)[/latex] Если обозначить выражение в скобках через t, то есть [latex]t=3x+\frac{\pi}{4}[/latex],  то уравнение переписывается следующиим образом [latex]\cos^2(t)-\sin^2(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0[/latex]. [latex]\cos(2t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]. Если подставить значение t, то получим [latex]\cos\left(6x+\frac{\pi}{2} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] Воспользуемся формулой косинуса суммы углов [latex]\cos(6x)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(6x)\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]-\sin(6x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]\sin(6x)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]6x=(-1)^k*\frac{\pi}{3}+\pi*k, \quad k\in Z[/latex] [latex]x=(-1)^k*\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{6}*k, \quad k\in Z[/latex] Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток [latex][\frac{3\pi}{4}; \pi][/latex], [latex]k=5 \qquad -\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{18}+\frac{15\pi}{6}=\frac{14\pi}{18}=\frac{7\pi}{9}[/latex] Докажем, что [latex]\frac{7\pi}{9}\in [\frac{3\pi}{4};\pi][/latex] [latex]\frac{7\pi}{9}=\frac{28\pi}{36};\quad \frac{3\pi}{4}=\frac{27\pi}{36}[/latex] [latex]\frac{28\pi}{36}\in (\frac{27\pi}{36};\pi)[/latex] [latex]k=4 \qquad \frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{6}=\frac{13\pi}{18}[/latex] Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что [latex]\frac{13\pi}{18}=\frac{26\pi}{36}[/latex] [latex]\frac{26\pi}{36}<\frac{27\pi}{36}=\frac{3\pi}{4}[/latex] То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток Ответ: при k=5  [latex]x=\frac{7\pi}{9}[/latex]