Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение:[latex](x^2+y^2)^{2010}=x^{n}*y^{n}[/latex]имеет натуральные решения.Объясните на уровне 9 класса, как решать такие задания.

При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением. Поэтому (xy)^n = (x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010  (xy)^2010`. Значит, n > 2010. Предположим, что `x ne y`. Тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. Для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`. Тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1) Из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 . Значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. Левая часть на p не делится. Противоречие. Пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. Откуда `x = 2^q = 0,1,2,...` и q(n - 2010) = 1005 . Поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. По условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. Поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, При n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2. Ответ: 2011, 3015

(x^2+y^2)^2010=(xy)^n при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо ,  x^2+y^2=(x+y)^2-2xy   видно что x^2+y^2>2xy .но только при  x=y  => x^2+y^2>=2xy соответственно если мы  возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой,  при х не = у  (x^2+y^2)^2010>=(2xy)^2010  , следовательно n>=2010. при х  не = у   То есть мы по сути должны для начало  решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение! так как мы сказали раннее что n>=2010, то при n=2010, (x^2+y^2)^2010=(xy)^2010 x^2+y^2=xy (x+y)^2-2xy=xy (x+y)^2=3xy слева число будет точным квадратом какого то числа  , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3,  иначе квадрат не получиться, что противоречит  выражению стоящему слева! Следовательно  n>2010  Пусть х=y . тогда  (x^2+y^2)^2010=(xy)^n (2x^2)^2010 =x^(2n) 2^2010*x^4020=x^2n 2^2010=x^(2n-4020) Так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2;  то справа значит будет тоже  четное и х=2^k, где к=1,2,4,8,16,,, Так как  пусть  x числа четное 10,12,14 ,,, но не степень  двойки тогда она  должна делиться на числа 2,4,8,16,32,,, ! 2^2010=x^(2n-4020) 2^2010=2^(2n-4020) n=3015,  но  наибольшее ли оно , так как  1005=k(n-2010) то "k" отудого делитель  1005 но так как "k"  четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1! Значит это будет и наибольшим ! Попробуем при тех же самых х=у  найти минимальное!  то есть я не уверен и уверен что есть  (x^2+y^2)^2010=(xy)^n 2^2010=x^(2n-4020) так как  было сказано что x=2.4.8.16 1005= k(n-2010) очевидно решение при n=2011. k=1  так как k>0  отудого x^2=2^2010 => x=2^1005.  Теперь рассмотрим при х>y (x^2+y^2)^2010=(xy)^n но так как  x^2+y^2 > 2xy  то есть при разных х , у   оно не имеет    решений! P.S в таких задачах главное  преобразовать уравнение в  более простое, проверить  решения при х=у,  х>y. Что то заметить и так далее!