Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения [latex]\sqrt{2}\cos\beta-\sin\beta;\\ \sin\beta-\sqrt{3}\cos\beta[/latex]

Разделим и умножим первое выражение на [latex] \sqrt{ (\sqrt{2})^2+1 } = \sqrt{3} [/latex]. Получим: [latex] \sqrt{3} (\sqrt{ \frac{2}{3} }cos \beta - \frac{ \sqrt{3} }{3} sin \beta)[/latex] √(2/3)<1 и (√(3)/3)<1 причем √(2/3)²+(√(3)/3)²=1 значит числа √(3)/3 и √(2/3) - синус и косинус некоего угла α. Поэтому можем записать: [latex]\sqrt{3} (\sqrt{ \frac{2}{3} }cos \beta - \frac{ \sqrt{3} }{3} sin \beta)=\sqrt{3} ({cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta)= \sqrt{3} cos( \alpha + \beta ) \\ [/latex] Теперь очевидно, что раз -1≤cos(α+β)≤1, то наименьшее значение нашего выражения -√3, а наибольшее √3. Точно также решается второй пример. В принципе подобное можно устно решать. Ясно, что такие выражения принимают значения от -√(x²+y²) до √(x²+y²), где x и y коэффициенты перед слагаемыми.