Найдите наибольшее простое число p, для которого существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел k^4+12k^2+12 и k^3+9k

Пусть p>1 общий делитель k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k Разложим k^4 + 12 * k^2 +12 = k (k^3 + 9k) + 3*k^2 + 12 Так как p делитель  k^4 +12*k^2+12 и k^3+9k, то p должно быть делителем и 3*k^2 + 12. То есть p делитель k^3+9k и 3*k^2 + 12. Далее, заметим, что p = 3 подходит. При p = 3, существует k = 3, при котором выполняется условие задачи. Если p простое и не равно 3, то можно поделить второе число на 3 (p делитель 3*k^2 + 12 и p<>3, следовательно p делитель k^2+4). Получим, что p делитель k^3+9k и k^2 + 4. Разложим k^3+9k = k (k^2+4) + 5k Так как p делитель k^3+9k и k^2 + 4, то p делитель и 5k. Значит, p общий делитель 5k и k^2+4. Заметим, что p = 5 подходит. При p = 5, k =1 и выполняется условие задачи. Если p простое и не равно 5, то т.к. p делитель 5k, то p делитель k. Тогда p - делитель k и k^2+4.  Аналогично раскладываем k^2 + 4 = k* k + 4. Отсюда следует, что p должно быть делителем 4. То есть p может равняться 2. При p=2, k=2 условие задачи выполнено. После очередного разложения у нас осталось два числа k и 4. Общий простой делитель p=2 мы уже рассмотрели. Итак, всего есть три простых p: p=5, p=3, p = 2. Тогда ответ: наибольшее простое p = 5.