Найдите наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:(x(x+2) больше 54)→(x2 больше 80)

1. Находим решение первого неравенства. [latex]x(x+2)>54; \ x^2+2x-54 >0[/latex] Для того, чтобы решить неравенство, попытаемся сначала определить, если ли у квадратного трехчлена, стоящего в левой части, нули. [latex]x^2+2x+54=0; \ D=4+4*54=4*55 [/latex] Поскольку дискриминант положительный, имеются два вещественных корня. Найдем их. [latex]\sqrt{D}=2 \sqrt{55}; \ x= \frac{-2\mp 2 \sqrt{55}}{2}=-1\mp \sqrt{55} [/latex] Вспоминаем, что график квадратного трехчлена - парабола, ветви которой направлены вверх, если коэффициент при квадрате х положительный. Следовательно, левая часть неравенства будет положительной, когда аргумент будет или меньше меньшего из найденных корней уравнения, или больше большего. [latex]x \in (-\infty;-1- \sqrt{55}) \ \cup \ (-1+ \sqrt{55};+\infty)[/latex] Теперь следует решить второе неравенство. [latex]x^2>80; \ |x|>\sqrt{80} \to x \in (-\infty;- 4\sqrt{5}) \ \cup \ ( 4\sqrt{5};+\infty)[/latex] Поскольку нас интересует решение в натуральных числах, вычислим значения выражений, содержащих радикалы, с точностью до 1 знака после запятой. В дальнейшем мы заменим их натуральными числами. Решения неравенств примут вид: [latex]x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty) \\ x \in (-\infty;-8.9) \ \cup \ (8.9;+\infty)[/latex] Исходное высказывание схематически выгладит как a ⇒ b Найдем схематическое выражение, соответствующее его отрицанию и заменим a,b на найденные решения неравенств. [latex]F=a \to b = \overline a \lor b; \\ \overline F=\overline{\overline a \lor b}=a \land \overline b; \\ F=(x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty)) \land \overline{x \in (-\infty;-8.9) \ \cup \ (8.9;+\infty)}= \\ (x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty)) \land (x \in [-8.9;8.9])= \\ (x \in (-\infty;-8.4) \cap [-8.9;8.9]) \cup (x \in (6.4;+\infty) \cap [-8.9;8.9])= \\ (x \in [-8.9;-8.4)) \cup (x \in (6.4;8.9])=x \in [-8.9;-8.4) \cup (6.4;8.9];[/latex] Теперь заменяем приближенные числа натуральными и находим окончательное решение. [latex]x \in false \cup [7;8] \to x=8[/latex] Ответ: х=8