Найдите наибольшее значение функции y=lnx-x на интервале (0;3).

Справедлива теорема: Пусть функция y=f(x), непрерывная на интервале (a; b), имеет на этом интервале только одну точку экстремума – точку x1. Тогда если x1 - точка максимума, то f(x1)- наибольшее значение функции f(x) на интервале (a; b); если же x1 - точка минимума, то f(x1)  - наименьшее значение функции f(x) на интервале (a; b). [latex]D(f)=(0;+\infty)[/latex] - интервал (0; 3) принадлежит этому множеству, и функция там непрерывна. [latex]f'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}[/latex] x=1 - единственная критическая точка на (0; 3).        +             -            - о----------|-----------o------> 0            1             3 Поскольку в окрестности х=1 производная меняет знак с "+" на "-", сама функция изменяет поведение с возрастания на убывание, т.е. х=1 - точка максимума. Следовательно, в силу указанной выше теоремы функция принимает наибольшее значение на интервале (0; 3) именно при х=1. Это значение равно у(1)= ln 1 - 1 = 0 - 1 = - 1. Ответ: 1.