Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, диагональ которого равна а) 11 см б) 3дм

Этот тип задач подразумевает нахождение точек максимума площади в зависимости от сторон прямоугольника. 1) Площадь прямоугольника находим по формуле S=a*b. 2) Выражаем одну сторону через другую. Пусть а - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника, tgα=b/a, b=a*tgα⇒ S=a*a*tgα=a²tgα. С другой стороны cosα=a/c, a=c*cosα, где с - значение гипотенузы, т.е. определенное число. Таким образом, S=a²tgα=c²*cos²α*tgα=c²*sinα*cosα. 3) Находим первую производную и приравниваем её к нулю: S'=(c²sinα*cosα)'=c²((sinα)'*cosα+sinα*(cosα)')=c²(cos²α-sin²α)=c²cos2α. c²cos2α=0; cos2α=0; 2α=π/2+πn, n∈Z; α=π/4+πn/2, n∈Z. Получили, что угол α=45°, а это значит, что прямоугольник имеет наибольшую площадь с определенной гипотенузой, если прямоугольник является квадратом. а) сторона квадрата с гипотенузой 11 см равна 11=а√2, а=11√2/2. Площадь равна S=(11√2/2)²=121*2/4=121/2 (см²). б) сторона квадрата с гипотенузой 3 дм равна 3=а√2, а=3√2/2. Площадь равна S=(3√2/2)²=9*2/4=9/2 (дм²). Ответ: а) 121/2 см²; 9/2 дм².