Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x) = 2sinx + sin2x на промежутке [pi/2;pi]

[latex]f(x) = 2sinx + sin2x \\ f'(x) = 2cosx + 2cos2x=2(cosx+2cos^2x-1) \\ f'(x)=0\ \ \textless \ =\ \textgreater \ 2cos^2x+cosx-1=0[/latex] [latex]cosx=-1[/latex] или [latex]cosx= \frac{1}{2} [/latex] [latex]x= \frac{ \pi }{3} + \frac{2 \pi k}{3} ,k \in Z[/latex] Отберем корни из [π/2; π]: x = π - стационарная точка функции f(x) в  [π/2; π]. f(π/2) = 2sin(π/2) + sin π = 2+0 =2 -наибольшее f(π) = 2sin π + 2sin 2π = 0+0 =0 - наименьшее

Для начала мы найдем производную этой функции: [latex]y'=(2sinx + sin2x)'=2cosx+2cos2x[/latex] Теперь приравниваем нашу производную нулю [latex]y'=0[/latex] [latex]2cosx+2cos2x=0[/latex] [latex]cosx+cos2x=0[/latex] Теперь по формуле двойного угла: [latex]cos2x=2cos^2x-1[/latex] [latex]2cos^2x+cosx-1=0[/latex] Делаем замену: cos x = t [latex]2t^2+t-1=0[/latex] Находим дискриминант: [latex]D=1-4*2*(-1)=9=3^2[/latex] [latex]t_1= \frac{-1+3}{4}= \frac{1}{2} [/latex] [latex]t_2= \frac{-1-3}{4}=-1 [/latex] Подставим значения t1 и t2 в нашу замену [latex]1) cosx= \frac{1}{2}; x= \frac{ \pi }{3} + 2 \pi n[/latex] n ∈Z Эта точка не подходит нашему промежутку [latex][ \frac{ \pi }{2}; \pi ] [/latex][latex]2) cosx=-1;x= \pi +2 \pi n[/latex] n ∈Z Эта точка уже принадлежит нашему промежутку Подставим значение x в начальное условие: [latex]y( \pi )=2sin \pi + sin2 \pi =0[/latex] Теперь найдем значения функции на концам нашего промежутка: [latex]y( \frac{\pi}{2})=2sin\frac{\pi}{2} + sin2\frac{\pi}{2}=2*1+0=2[/latex] В точке (pi/2) мы уже нашли значение функции Теперь зная 2 точки мы можем определить соответственно максимальное и минимальное значение [latex]y_{max}=2[/latex] [latex]y_{min}=0[/latex] Ответ: наибольшее - 2; наименьшее - 0.