Найдите наименьшее значение функции y= (x-3)^2 * (x-6) - 5 на отрезке [4;10]

1) Раскроем скобки для удобства нахождения производной функции. [latex]y=(x-3)^2(x-6)-5 \\ y=(x^2-6x+9)(x-6)-5=x^3-6x^2-6x^2+36x+9x-54-5= \\ =x^3-12x^2+45x-59[/latex] 2) Найдём производную функции. [latex]y'=(x^3-12x^2+45x-59)'=(x^3)'-(12x^2)'+(45x)'-(59)'= \\ =3x^2-24x+45[/latex] 3) Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы (те точки, при которых производная обращается в ноль). [latex]3x^2-24x+45=0|:3 \\ x^2-8x+15=0 \\ (x-3)(x-5)=0 \\ x=3,x=5[/latex] 4) Смотрим наш промежуток: [latex]x[/latex] ∈ [latex][4;10][/latex] .  Смотрим на наши корни [latex]x=3[/latex] и [latex]x=5[/latex]. Точка [latex]x=3[/latex] не попадает в промежуток. Значит остается только одна точка-экстремум [latex]x=5[/latex] 5) Теперь находим значения функции в данных нам ([latex]4,10[/latex])и найденной нами ([latex]5[/latex]) точках. То есть подставляем их в исходную функцию. [latex]y(4)=(4-3)^2(4-6)-5=1*(-2)-5=-2-5=-7 \\ y(5)=(5-3)^2(5-6)-5=4*(-1)-5=-4-5=-9 \\ y(10)=(10-3)^2(10-6)-5=49*4-5=196-5=191[/latex] 6) Нас просили найти наименьшее значение функции. Смотрим, какое из найденных значений [latex]y[/latex] у нас наименьшее. Это [latex]-9[/latex] Ответ: [latex]-9[/latex]