Найдите наименьшее значения произведения P=cosx*cosy*cos(x+y)

Преобразуем функцию: P=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)= 1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x)) Возьмем  производную  по  x и  приравняем  к нулю: -1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0 sin(2x+2y)+sin2x=0 sin(2x+y)*siny=0 Очевидно  что  минимум  будет когда: sin(2x+y)=0 2x+y=π*n y=π*n-2x (Тк  функция симметричная то рассматривать  производную по у не  имеет смысла) Это  минимум функции при  произвольно взятой  константе y. То  чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при  разных y. И  так  подставляя  наш результат в исходную функцию  применив формулы приведения  получим: P=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))= 1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)= 1/2*(cos^2(2x)+cos(2x)) пусть : сos(2x)=w |w|<=1 P=1/2*(w^2+w) w^2+w-парабола  с вершина  wв=-1/2  |w|<1 (верно)  значит  в этой  точке и будет минимум   тк ветви идут вверх. Откуда: min(P)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8 Ответ:-1/8

[latex]P=cosx*cosy*cos(x+y)\\ [/latex] Рассмторим треугольник [latex]a,b,c[/latex] ,  положим что он существует  Впишем углы [latex] x;y[/latex]  По теореме косинусов выразим углы  [latex]cosy=\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\\ cosx=\frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\\ [/latex]  [latex]cos(x+y)=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab} [/latex]  [latex] \frac{1}{8}*\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2} [/latex]   То есть надо найти такое число , если оно существует , что [latex]\frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2} [/latex]     является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби .   Теперь    по неравенству о средних    [latex] \frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{11} =[/latex][latex]\frac{a^6+b^6+c^6+a^4(-b^2-c^2)+b^4(-a^2-c^2)+c^4(-a^2-b^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2}{11}\geq [/latex][latex]\sqrt[11]{a^{22}*b^{22}*c^{22}}=-a^2b^2c^2[/latex]   то есть получим  [latex]min \frac{1}{8}*-1=-\frac{1}{8}[/latex] , причем выполняется тогда когда [latex]a=b=c[/latex]