Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая.  Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней =6   вторая сторона а, и высота к ней 4 см  третья сторона с, и высота к ней 3 см.   Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны:  S=4a:2  S=3c:2  S=6b:2  Площадь треугольника, найденная любым способом, одна и та же.   Поэтому  3c:2=6b:2  с=2b  4a:2=6b:2  а=1,5b Вычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b.  Полупериметр   р=(а+b+с):2=(b+1,5b+2b):2=4,5b:2=2,25b  S=√(2,25b*0,75b*1,25b*0,25b)=√0,52734375b⁴  S=0,72618b²  0,72618b²=6b:2 0,72618b=3  b=3:0,72618=4,1312  S=6b:2= 6*4,1312:2=12,3936 см²   Попутно:  с=2b=8,2624  а=1,5b=6,1968  Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для  каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.