Найдите сумму решений уравнения tg2x * cos2x = sin2x + sin4x, принадлежащих множеству [-П; 2П]

Перепишем уравнение, учитывая, что [latex]tg2x=\frac{sin2x}{cos2x}[/latex] [latex]\frac{sin2x}{cos2x}*cos2x=sin2x+sin4x[/latex] -----(1) В уравнение (1) выражение [latex]cos2x[/latex] находится в знаменателе, поэтому [latex]cos2x\neq0[/latex], или  [latex]2x\neq\frac{\pi}{2}+\pi*m[/latex], [latex]m[/latex] - целое или  [latex]x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}[/latex], [latex]m[/latex] - целое-----(2) Сократим в левой части уравнения (1) на [latex]cos2x[/latex]:   [latex]sin2x=sin2x+sin4x[/latex], отсюда [latex]sin4x=0[/latex], отсюда   [latex]4x=\pi*n[/latex], или [latex]x=\frac{\pi*n}{4}[/latex], [latex]n[/latex] - целое ------(3) Из решений (3) надо исключить значения, равные значениям (2):  [latex]x=\frac{\pi*n}{4}\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi*m}{2}[/latex], отсюда   [latex]\pi*n\neq\pi+2\pi*m[/latex], сокращая на [latex]\pi[/latex], получим   [latex]n\neq1+2*m[/latex] - нечетные числа  Другими словами [latex]n[/latex] принимает только четные значения!  Из условия следует, что [latex]-\pi \leq\frac{\pi*n}{4}\leq2\pi[/latex], отсюда     [latex]-4 \leq\ n \leq 8[/latex] Таким образом, [latex]n[/latex] принимает значения [latex]{-4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}[/latex] Видно, что решения (3) уравнения составляют арифметическую прогрессию с первым членом [latex]a_{1}=-\pi[/latex] и последним седьмым членом  [latex]a_{7}=\frac{8*\pi}{4}=2\pi[/latex]  Теперь мы можем найти сумму [latex]S[/latex] всех решений уравнения как сумму первых семи членов арифметической прогрессии:  [latex]S=7*\frac{a_{1}+a_{7}}{2}=7*\frac{-\pi+2\pi}{2}=3,5*\pi[/latex]