Найдите точку минимума функции y=(1–2x)cosx+2sinx+7 принадлежащую промежутку (0; π/2)

Находим производную: y'= (1-2x)'cosx+(1-2x)sin'x+7'=y'= -2cosx-(1-2x)sinx+2cosx=(2x-1)sinx y'=(2x-1)sinx, запишем уравнение (2x-1)sinx=0, (x-1/2)sinx=0 построим интервалы знакопостоянства на промежутке (0; π/2) 0__-__1/2__+__π/2 значит при x∈(0;1/2] y(x) убывает, при x∈[1/2;π/2) y(x) возрастает значит на промежутке (0;π/2) минимум функции достигается в точке x=1/2, y=(1-2*1/2)cos(1/2)+2sin(1/2)+7=2sin(1/2)+7 Ответ: x=1/2, y=2sin(1/2)+7≈7,96 

Производная функции: [latex]y'=(1-2x)'\cos x+(1-2x)\cdot (\cos x)'+(2\sin x)'+(7)'=\\ \\ =-2\cos x-\sin x(1-2x)+2\cos x=-\sin x(1-2x)[/latex] Приравниваем ее к нулю: [latex]y'=0;\,\,\, (2x-1)\sin x=0[/latex] Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. [latex]2x-1=0\\ x=0.5[/latex] [latex]\sin x=0\\ \\ x=\arcsin0+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x= \pi n,n \in \mathbb{Z}[/latex] Для всех [latex]n \in \mathbb{Z}[/latex], все корни не будут принадлежать заданному отрезку. ___-___(0,5)___+_____ В точке [latex]x=0.5[/latex] функция имеет локальный минимум. [latex]y(0.5)=2\sin(0.5)+7= 0.95+7\approx7.95[/latex] [latex](0.5;7.95)\,\,\, -[/latex] относительный минимум