Найдите все значения [latex]a[/latex], при каждом из которых уравнение [latex]8x^{6}-(3x+5a)^{3}+2x^{2}-3x=5a[/latex] имеет более одного корня.

Найдите все значения [latex]a[/latex], при каждом из которых уравнение [latex]8x^{6}-(3x+5a)^{3}+2x^{2}-3x=5a[/latex] имеет более одного корня.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
Уравнение здесь имеет вид u3+u=v3+v, где u=2x2, v=3x+5a. От него можно перейти к равносильному равенству u=v по следующей причине. Функция f(u)=u3+u имеет производную f′(u)=3u2+1, которая всюду положительна. Поэтому f(u) строго монотонно возрастает на всей области определения. Поэтому её значения в различных точках не могут совпадать. Таким образом, мы приходим к равносильному условию u=v, а это квадратное уравнение 2x2−3x−5a=0. Находим дискриминант, и пишем, что он положителен: в этом и только в этом случае уравнение будет иметь более одного корня.
Гость
8x^6+2x^2 = (3x+5)^3+3x+5a 2x^2-3x+5a=0 D= 9+40a D>0 (т.к. решений должно быть больше 1-го) => 9+40a>0   a> - 9/40
Не нашли ответ?
Ответить на вопрос
Похожие вопросы