Найдите z6 в показательной формеz = 1/2 + i [latex]Найдите z6 в показательной форме z = 1/2 + i корень из 3 /2

[latex]z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] По формуле Муавра [latex]z=\rho(cos\varphi+i\sin\varphi)[/latex] Здесь [latex]\rho=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}[/latex] [latex]\rho=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}[/latex] [latex]\rho=1[/latex]  В данном случае формула принимает вид [latex]z=cos\varphi+i\sin\varphi[/latex] Теперь вычислим [latex]\cos\varphi[/latex] [latex]\cos\varphi=\frac{\frac{1}{2}}{\rho}[/latex] [latex]\cos\varphi=\frac{\frac{1}{2}}{1}[/latex] [latex]\cos\varphi=\frac{1}{2}[/latex] [latex]\varphi=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi*n,\quad n\in Z\quad (1)[/latex] То же самое с синусом [latex]\sin\varphi=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\rho}[/latex] [latex]\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]\varphi=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi*k,\quad k\in Z\quad(2)[/latex] Учитывая, формулы (1) и (2) получаем, что угол [latex]\varphi[/latex] может принадлежать только первой четверти. То есть [latex]\varphi =\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in Z[/latex]  В данном случае подставим в формулу Муавра [latex]z=e^{i\frac{\pi}{3}}[/latex] [latex]z^6=e^{6*i\frac{\pi}{3}}[/latex] [latex]z^6=e^{2\pi i}[/latex] По формуле Муавра [latex]e^{2\pi*i}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+i*0=1[/latex] Значит [latex]z^6=1[/latex]. Ответ: 1.