Найдите значение a, чтобы сумма квадратов корней уравнения x^2+(3+2a)x+2a+1=0 была наименьшей.

а=-1.   В приведенном квадратном уравнении [latex]x^2+px+q=0[/latex], по теореме Виета, [latex]x_1^2+x_2^2=p^2-2q[/latex]. В вашем примере p=3+2a, q=2a+1. Подставив эти значения в формулу, получим: [latex](3+2a)^2-2(2a+1)=9+12a+4a^2-4a-2[/latex]. После приведения подобных членов получим [latex]4a^2+8a+7[/latex]. График этой функции - парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, наименьшее значение эта функция приобретает в вершине параболы, абсцисса которой равна -1.