Найти бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сумма которой равна 8/3, а сумма прогрессии, составленной из квадратов ее членов, в 8 раз больше.

Пусть [latex] b_{1}; b_{2}=b_{1}q; b_{3}=b_{1}q^{2}; b_{4}=b_{1}q^{3}, ...[/latex] - исходная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна [latex]S= \frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}[/latex] Рассмотрим прогрессию, составленную из квадратов ее членов: [latex]b_{1}^{2}; b_{2}^{2}=(b_{1}q)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}; b_{3}^{2}=(b_{1}q^{2})^{2}=b_{1}^{2}q^{4}; ...[/latex] Она тоже является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом [latex]b_{1}^{2}[/latex] и знаменателем [latex]q^{2}[/latex] Значит, ее сумма вычисляется по формуле: [latex]S_{1}=\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}[/latex] Получаем систему уравнений [latex] \left \{ {{\frac{b_{1}}{1-q}= \frac{8}{3}} \atop {\frac{b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\frac{64}{3}}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)} \atop {3b_{1}^{2}=64(1-q^{2})}} \right. [/latex] Подставим 1-е во 2-е [latex]3* \frac{64}{9}*(1-q)^{2}=64(1-q^{2})[/latex] [latex] \frac{1}{3}*(1-q)^{2}=(1-q)(1+q)[/latex] [latex] \frac{1}{3}- \frac{1}{3}q=1+q[/latex] [latex] \frac{4}{3}q=- \frac{2}{3}[/latex] [latex]q=- \frac{1}{2}[/latex] Значит, [latex]b_{1}=\frac{8}{3}(1-q)=\frac{8}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{8}{3}* \frac{3}{2}=4[/latex] [latex]b_{1}=4; b_{2}=4*(-\frac{1}{2})=-2; b_{3}=4*(-\frac{1}{2})^{2}=1; ...[/latex] - искомая прогрессия